Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD длина диагонали AC составляет 3/4 длины диагонали BD. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника ABCD равны друг другу и равны 15. Найти стороны параллелограмма с вершинами в серединах сторон четырёхугольника ABCD.
Ответ от учителя
Пусть точки M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда MP = NQ = 15 (по условию) и MP || NQ (так как это отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника ABCD). Значит, MPNQ — параллелограмм.
Так как AC — диагональ выпуклого четырёхугольника ABCD, то AC > BD. Пусть AC = kBD, где k > 1. Тогда AM = BM = k/2 * BD/2 = k/4 * BD, CN = DN = k/2 * BD/2 = k/4 * BD. Значит, AM = CN = k/4 * BD.
Так как MPNQ — параллелограмм, то его диагонали делятся пополам. Значит, MN = PQ = 15/2.
Рассмотрим треугольник AMC. По теореме Пифагора:
AC^2 = AM^2 + MC^2
(kBD)^2 = (k/4 * BD)^2 + MC^2
MC^2 = (15/4)^2 * (k^2 — 1) * BD^2
Аналогично, рассмотрев треугольник BDN, получаем:
ND^2 = (15/4)^2 * (k^2 — 1) * BD^2
Так как MPNQ — параллелограмм, то его диагонали делятся пополам. Значит, MN = PQ = 15/2. Рассмотрим треугольник BMN. По теореме Пифагора:
MN^2 = BM^2 + BN^2
(15/2)^2 = (k/4 * BD)^2 + (15/4)^2 * (k^2 — 1) * BD^2
225 = (k^2 + 1)/16 * BD^2
BD^2 = 3600/(k^2 + 1)
Таким образом, мы получили систему уравнений:
MC^2 = (15/4)^2 * (k^2 — 1) * BD^2
ND^2 = (15/4)^2 * (k^2 — 1) * BD^2
BD^2 = 3600/(k^2 + 1)
Решая её, получаем:
MC = ND = 15/2 * sqrt(k^2 — 1)
BD = 60/sqrt(k^2 + 1)
Так как AM = CN = k/4 * BD, то:
AM = CN = 15/2 * k/sqrt(k^2 + 1)
Таким образом, мы нашли стороны параллелограмма с вершинами в серединах сторон четырёхугольника ABCD.
