Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD площади треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
Ответ от учителя
Пусть S1 и S2 — площади треугольников ABD и ACD соответственно. Тогда S1 = S2.
Рассмотрим треугольник ABD. Пусть h1 — высота, опущенная на сторону AB, а b1 — длина стороны AB. Тогда S1 = (b1*h1)/2.
Аналогично, для треугольника ACD имеем S2 = (b2*h2)/2, где h2 — высота, опущенная на сторону AC, а b2 — длина стороны AC.
Так как S1 = S2, то (b1*h1)/2 = (b2*h2)/2, откуда b1*h1 = b2*h2.
Рассмотрим отношение высот треугольников ABD и ACD. Пусть h1/h2 = k. Тогда b1*k = b2.
Заметим, что треугольники ABD и ABC имеют общую высоту h1, а значит, отношение их площадей равно отношению соответствующих сторон: S1/S(ABC) = b1/(b1+b2), где S(ABC) — площадь треугольника ABC.
Аналогично, для треугольника ACD и ABC имеем S2/S(ABC) = b2/(b1+b2).
Так как S1 = S2, то b1/(b1+b2) = b2/(b1+b2), откуда b1 = b2.
Из b1*k = b2 следует, что k = 1, то есть h1 = h2.
Таким образом, мы получили, что стороны AB и AC равны, а высоты, опущенные на эти стороны, также равны. Значит, треугольники ABD и ACD равнобедренные.
Так как углы B и C выпуклого четырехугольника ABCD смежные, то сумма углов ABD и ACD равна 180 градусов. Но так как треугольники ABD и ACD равнобедренные, то углы ADB и ADC равны. Значит, углы BAD и CAD также равны.
Таким образом, мы получили, что стороны AB и AC равны, а углы BAD и CAD равны. Значит, треугольники ABD и ACD подобны.
Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что углы ABD и ACD равны. Но так как угол ABD прямой, то и угол ACD прямой.
Значит, прямые ВС и AD параллельны.
