Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены средние линии MN и PK (рис. 229). Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей желтых треугольников.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник AMK. Он является половиной параллелограмма ABCK, поэтому его площадь равна половине площади этого параллелограмма. Аналогично, треугольник BNL является половиной параллелограмма BCDL. Таким образом, сумма площадей красных треугольников равна половине суммы площадей параллелограммов ABCK и BCDL.
Рассмотрим теперь треугольник AKB. Он является половиной параллелограмма ABCD, поэтому его площадь равна половине площади этого параллелограмма. Аналогично, треугольник DLP является половиной параллелограмма ABCD. Таким образом, сумма площадей желтых треугольников равна половине суммы площадей параллелограммов ABCD.
Но параллелограммы ABCK и BCDL в сумме дают параллелограмм ABCD, поэтому их площади в сумме равны площади этого параллелограмма. Таким образом, сумма площадей красных треугольников равна половине площади параллелограмма ABCD, а сумма площадей желтых треугольников также равна половине площади параллелограмма ABCD. Следовательно, сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей желтых треугольников.
