Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма градусных мер углов ABC и BAD равна 180°, а биссектрисы этих углов пересекаются в точке F. Докажите, что прямая BF параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AF.
Ответ от учителя
Пусть углы ABC и BAD имеют меры α и β соответственно. Тогда из условия задачи имеем:
α + β = 180°
Пусть M и N – середины отрезков AB и AF соответственно. Тогда треугольник AMF равнобедренный, так как AM = MF (биссектриса угла ABC делит его на два равных угла, а значит, AM = BM) и угол AMF равен половине угла ABC, то есть α/2. Аналогично, треугольник ANF равнобедренный, угол ANF равен половине угла BAD, то есть β/2.
Так как AM = MF и AN = NF, то треугольники AMF и ANF равны. Значит, угол MAF равен углу NAF, то есть углу BAF. Но угол MAF также равен углу MBF, так как треугольник AMF равнобедренный. Значит, угол MBF равен углу BAF, то есть углу NAF.
Таким образом, углы MBF и NAF равны, а значит, прямая BF параллельна прямой, проходящей через середину отрезка AF и перпендикулярной ему.
