Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M, N, K и P — середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Периметр треугольника MNP равен периметру треугольника MKP. Докажите, что AC _I_ BD.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что периметры треугольников MNP и MKP равны. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Значит, сумма длин сторон треугольника MNP равна сумме длин сторон треугольника MKP:
MN + NP + PM = MK + KP + PM + MP
Учитывая, что точки M, N, K и P являются серединами соответствующих сторон четырехугольника ABCD, можно записать:
MN = (AB + CD) / 2
NP = (BC + AD) / 2
MK = (BC + AD) / 2
KP = (AB + CD) / 2
Подставляя эти выражения в предыдущее равенство, получаем:
(AB + CD) / 2 + (BC + AD) / 2 + PM = (BC + AD) / 2 + (AB + CD) / 2 + PM + MP
Упрощая выражение, получаем:
AB + CD + BC + AD = 2PM + 2MP
Таким образом, сумма длин противоположных сторон четырехугольника ABCD равна удвоенной длине отрезка MP, соединяющего середины противоположных сторон. Это означает, что отрезок MP является диаметром описанной окружности четырехугольника ABCD. Следовательно, противоположные углы этого четырехугольника смежны и он является вписанным. Таким образом, AC и BD пересекаются в точке I, которая является центром описанной окружности четырехугольника ABCD.
