Вопрос школьника
В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABC равен 111◦, угол CBD равен 49◦, угол ACD равен 62◦
Найдите углы CAD и ADC
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC. Известны два угла и одна сторона (AB). Найдем третий угол, используя теорему синусов:
sin(∠ACB) = sin(180° — ∠ABC — ∠CBD) / AB * sin(∠CBD)
sin(∠ACB) = sin(20°) / AB * sin(49°)
Так как треугольник ABC выпуклый, то ∠ACB < 180°, следовательно, sin(∠ACB) > 0. Получаем:
sin(∠ACB) = 0.342 / AB
Аналогично, для треугольника ACD:
sin(∠CAD) = sin(180° — ∠ACD — ∠ADC) / AC * sin(∠ADC)
sin(∠CAD) = sin(69°) / AC * sin(ADC)
sin(∠CAD) = 0.933 / AC
Так как треугольник ACD выпуклый, то ∠CAD < 180°, следовательно, sin(∠CAD) > 0.
Известно, что ABCD — выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов внутри него равна 360°:
∠ABC + ∠CBD + ∠ACD + ∠ADC = 360°
Подставляем известные значения:
111° + 49° + 62° + ∠ADC = 360°
∠ADC = 138°
Теперь можем найти ∠CAD:
sin(∠CAD) = 0.933 / AC
AC = CD * sin(∠ACD) / sin(∠ADC)
AC = CD * sin(62°) / sin(138°)
Так как ABCD — выпуклый четырехугольник, то ∠ACD + ∠CBD = 180°. Следовательно, ∠ACD = 180° — 49° = 131°.
Подставляем известные значения:
AC = CD * sin(62°) / sin(138°) = CD * 0.787
AC / CD = 0.787
Из теоремы синусов для треугольника ACD:
sin(∠CAD) = 0.933 / AC
sin(∠CAD) = 0.933 / (0.787 * CD)
sin(∠CAD) = 1.184 / CD
Так как треугольник ACD выпуклый, то ∠CAD < 180°, следовательно, sin(∠CAD) > 0.
Получаем:
sin(∠CAD) = 1.184 / CD
sin(∠CAD) = 0.933 / AC
1.184 / CD = 0.933 / AC
AC / CD = 0.787
Подставляем значение AC / CD:
1.184 / CD = 0.933 / (0.787 * CD)
CD = 1.184 / 0.933 * 0.787
CD = 1.5
Теперь можем найти ∠CAD:
sin(∠CAD) = 1.184 / CD
sin(∠CAD) = 1.184 / 1.5
sin(∠CAD) = 0.789
∠CAD = arcsin(0.789)
∠CAD = 52.5°
Ответ: ∠CAD = 52.5°, ∠ADC = 138°.
