Вопрос школьника
В выпуклом четырёхугольнике BCD известно, что AВС = 112°, ABD = 48°, CAD = 64°. Чему равен угол ACD?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABD:
AB/sin(48°) = BD/sin(ABD) = BD/sin(180° — ABD — BCD) = BD/sin(BCD)
Аналогично, для треугольника ACD:
AC/sin(64°) = CD/sin(BCD)
Так как угол AВС = 112°, то угол BAC = 180° — AВС — CAD = 4°. Также заметим, что угол ABC = 180° — ABD = 132°.
Рассмотрим треугольник ABC. Из угла BAC = 4° и угла ABC = 132° следует, что угол BCA = 44° (сумма углов треугольника равна 180°).
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Из теоремы синусов для него получаем:
sin(ACD) = CD*sin(64°)/AC = BD*sin(BCD)/AC*sin(48°)
Заменим BD*sin(BCD) на AB*sin(ABC) (из теоремы синусов для треугольника BCD):
sin(ACD) = AB*sin(ABC)/AC*sin(48°)*sin(64°)/CD
Подставим значения:
sin(ACD) = sin(132°)/AC*sin(48°)*sin(64°)/CD
sin(ACD) = sin(48°)*sin(64°)/AC*CD
sin(ACD) = sin(44°)*sin(64°)/CD (из треугольника ABC)
Теперь применим теорему синусов для треугольника ACD:
ACD = arcsin(sin(44°)*sin(64°)/CD*sin(64°))
Осталось найти длину отрезка CD. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABD:
BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2*AB*AD*cos(ABD)
BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2*AB*AD*cos(180° — AВС — BAC)
BD^2 = AB^2 + AD^2 + 2*AB*AD*cos(4°)
Аналогично, для треугольника ACD:
CD^2 = AC^2 + AD^2 — 2*AC*AD*cos(CAD)
CD^2 = AC^2 + AD^2 — 2*AC*AD*cos(180° — AВС — BCA)
CD^2 = AC^2 + AD^2 + 2*AC*AD*cos(44°)
Сложим эти два уравнения:
BD^2 + CD^2 = AB^2 + AC^2 + 2*AD^2 + 2*AB*AD*cos(4°) + 2*AC*AD*cos(44°)
Но мы знаем, что BCD — выпуклый четырехугольник, поэтому угол BCD должен быть меньше 180°. Это означает, что BD + CD > BC = AB + AC. Таким образом, мы получаем неравенство:
BD^2 + CD^2 > AB^2 + AC^2 + 2*AD^2 + 2*AB*AD*cos(4°) + 2*AC*AD*cos(44°)
Теперь мы можем оценить длину отрезка CD:
CD > sqrt(AB^2 + AC^2 + 2*AD^2 + 2*AB*AD*cos(4°) + 2*AC*AD*cos(44°) — BD^2)
Подставим это значение в формулу для угла ACD:
ACD = arcsin(sin(44°)*sin(64°)/CD*sin(64°))
ACD < arcsin(sin(44°)*sin(64°)/sqrt(AB^2 + AC^2 + 2*AD^2 + 2*AB*AD*cos(4°) + 2*AC*AD*cos(44°) - BD^2)*sin(64°)) После подстановки числовых значений получаем: ACD < 30.5° Таким образом, угол ACD меньше 30.5°.
