Вопрос школьника
В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.
Ответ от учителя
Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, образует равные углы с диагоналями AC и BD. Обозначим точки пересечения диагоналей AC и BD как E и F соответственно.
Так как прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, является медианой треугольника ECD, то она делит его на две равные части. Аналогично, она является медианой треугольника ABF и делит его на две равные части.
Таким образом, точки E и F являются серединами сторон EC и AF соответственно. Из этого следует, что EF || AC и EF || BD.
Так как прямая EF параллельна диагоналям AC и BD, то углы AEF и CEF равны между собой, а углы BEF и DEF также равны между собой. Также из условия задачи следует, что углы AEF и BEF равны между собой, а углы CEF и DEF также равны между собой.
Из этих равенств следует, что треугольники AEF и BEF равны между собой, а треугольники CEF и DEF также равны между собой. Таким образом, стороны AE и BE равны между собой, а стороны CE и DE также равны между собой.
Из этого следует, что диагонали AC и BD равны между собой, что и требовалось доказать.
