Вопрос школьника
В ящике a белых, b черных и c красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одного цвета.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо вычислить вероятность того, что все три шара будут разных цветов, и вычесть ее из единицы, чтобы получить вероятность того, что по крайней мере два шара будут одного цвета.
Вероятность того, что первый вынутый шар будет белым, равна a/(a+b+c). Вероятность того, что второй вынутый шар будет черным (при условии, что первый был белым), равна b/(a+b+c-1). Вероятность того, что третий вынутый шар будет красным (при условии, что первый был белым и второй был черным), равна c/(a+b+c-2). Таким образом, вероятность того, что все три шара будут разных цветов, равна:
(a/(a+b+c)) * (b/(a+b+c-1)) * (c/(a+b+c-2))
Аналогично можно вычислить вероятность того, что первый шар будет черным и второй и третий будут одного цвета, а также вероятность того, что первый шар будет красным и второй и третий будут одного цвета. Все три вероятности будут равны между собой, поэтому достаточно вычислить только одну из них.
Вероятность того, что первый вынутый шар будет черным, равна b/(a+b+c). Вероятность того, что второй вынутый шар будет одного цвета с первым (при условии, что первый был черным), равна (b-1)/(a+b+c-1). Вероятность того, что третий вынутый шар будет такого же цвета, равна (a+c)/(a+b+c-2). Таким образом, вероятность того, что первый шар будет черным и второй и третий будут одного цвета, равна:
(b/(a+b+c)) * ((b-1)/(a+b+c-1)) * ((a+c)/(a+b+c-2))
Теперь можно вычислить вероятность того, что по крайней мере два шара будут одного цвета, вычтя из единицы вероятность того, что все три шара будут разных цветов:
1 — (a/(a+b+c)) * (b/(a+b+c-1)) * (c/(a+b+c-2)) — 3 * (b/(a+b+c)) * ((b-1)/(a+b+c-1)) * ((a+c)/(a+b+c-2))
Таким образом, получаем ответ на задачу.
