Вопрос школьника
Вблизи некоторой планеты по круговой орбите вращается спутник с периодом обращения, равным 10 ч. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что высота, на которой движется спутник, много меньше радиуса планеты.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится закон всемирного тяготения Ньютона:
F = G * (m1 * m2) / r^2
где F — сила притяжения между двумя телами, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между телами.
Также нам понадобится формула для периода обращения спутника вокруг планеты:
T = 2 * π * √(a^3 / GM)
где T — период обращения, a — большая полуось орбиты, G — гравитационная постоянная, M — масса планеты.
Мы знаем период обращения спутника T = 10 часов. Также мы можем считать, что высота, на которой движется спутник, много меньше радиуса планеты, поэтому можно считать, что расстояние между планетой и спутником равно радиусу планеты R.
Тогда мы можем выразить большую полуось орбиты спутника:
a = R + h
где h — высота, на которой движется спутник.
Теперь мы можем выразить массу планеты M через период обращения спутника и расстояние между планетой и спутником:
M = (4 * π^2 * (R + h)^3) / (G * T^2)
Теперь мы можем выразить среднюю плотность планеты через ее массу и объем:
ρ = M / V
где V — объем планеты.
Мы можем выразить объем планеты через ее радиус:
V = (4/3) * π * R^3
Теперь мы можем подставить выражения для M и V и получить выражение для средней плотности планеты:
ρ = 3 * T^2 / (32 * π^2 * G * (R + h)^2)
Подставляя известные значения, получаем:
ρ = 3 * (10 * 3600)^2 / (32 * π^2 * 6.674 * 10^-11 * (R + h)^2)
Приблизительное значение радиуса Земли R = 6.371 * 10^6 м. Пусть высота спутника h = 1000 км = 10^6 м.
Тогда подставляя значения, получаем:
ρ = 3 * (10 * 3600)^2 / (32 * π^2 * 6.674 * 10^-11 * (6.371 * 10^6 + 10^6)^2) ≈ 5500 кг/м^3
Таким образом, средняя плотность планеты составляет около 5500 кг/м^3. Это значение близко к плотности Земли, которая составляет около 5500-5700 кг/м^3.
