Вопрос школьника
Вдоль прямой улицы по одну сторону от неё стоят четыре дома. В каком месте улицы нужно установить газетный киоск, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать метод нахождения среднего арифметического.
1. Разместим дома на числовой оси, выбрав произвольную точку за начало координат. Пусть первый дом находится в точке 0, второй — в точке a, третий — в точке b, четвертый — в точке c.
2. Обозначим точку, в которой будет установлен киоск, буквой x.
3. Найдем расстояние от киоска до первого дома: |x-0| = x.
4. Найдем расстояние от киоска до второго дома: |x-a|.
5. Найдем расстояние от киоска до третьего дома: |x-b|.
6. Найдем расстояние от киоска до четвертого дома: |x-c|.
7. Сложим все полученные расстояния: S = x + |x-a| + |x-b| + |x-c|.
8. Найдем производную функции S по переменной x:
S’ = 1 + sign(x-a) — sign(x-b) + sign(x-c),
где sign — функция знака числа.
9. Решим уравнение S’ = 0:
1 + sign(x-a) — sign(x-b) + sign(x-c) = 0.
10. Рассмотрим несколько случаев:
— Если x < a, то sign(x-a) = -1, и уравнение принимает вид: 1 - 1 - sign(x-b) + sign(x-c) = 0. Отсюда следует, что x должен находиться между b и c, т.е. a < x < b < c. - Если a < x < b, то sign(x-a) = sign(x-b) = -1, и уравнение принимает вид: 1 - 1 - 1 + sign(x-c) = 0. Отсюда следует, что x должен находиться между b и c, т.е. a < b < x < c. - Если b < x < c, то sign(x-b) = sign(x-c) = 1, и уравнение принимает вид: 1 + 1 - sign(x-c) = 0. Отсюда следует, что x должен находиться между a и b, т.е. a < x < b < c. 11. Найдем вторую производную функции S: S'' = 2*delta(x-a) - 2*delta(x-b) - 2*delta(x-c), где delta - функция Дирака. 12. Изучим знаки второй производной в каждом из трех интервалов: - Если a < x < b, то S'' < 0, т.е. функция S выпуклая вниз. - Если b < x < c, то S'' > 0, т.е. функция S выпуклая вверх.
— Если x < a или x > c, то S» = 0, т.е. функция S имеет экстремум в точке x.
13. Изучим знаки первой производной в каждом из трех интервалов:
— Если a < x < b, то S' < 0, т.е. функция S убывает. - Если b < x < c, то S' > 0, т.е. функция S возрастает.
— Если x < a или x > c, то S’ = 0, т.е. функция S имеет экстремум в точке x.
14. Изучим знаки функции S в каждом из трех интервалов:
— Если a < x < b, то S > 0, т.е. функция S положительна.
— Если b < x < c, то S > 0, т.е. функция S положительна.
— Если x < a или x > c, то S = |x| + |x-a| + |x-b| + |x-c| > 0, т.е. функция S положительна.
15. Изучив все три интервала, можно сделать вывод, что минимум функции S достигается в точке x = (b+a)/2, т.е. в середине между вторым и третьим домами.
16. Ответ: газетный киоск нужно установить в середине между вторым и третьим домами.
