Вопрос школьника
Векторы a , b , c единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами:
1) a и b + c ; 2) a и b − c
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов:
1) a и b + c:
a · (b + c) = a · b + a · c (раскрываем скобки)
Так как векторы a, b и c имеют единичную длину и образуют угол 60°, то:
a · b = cos 60° = 1/2
a · c = cos 60° = 1/2
Тогда:
a · (b + c) = 1/2 + 1/2 = 1
Также:
|a| = |b| = |c| = 1
Тогда:
|b + c| = √(|b|² + 2b·c + |c|²) = √(1 + 2cos 60° + 1) = √3
Таким образом, угол между векторами a и b + c можно найти по формуле:
cos α = (a · (b + c)) / (|a| · |b + c|) = 1 / (√3) = √3 / 3
α = arccos (√3 / 3) ≈ 35.26°
2) a и b − c:
a · (b − c) = a · b − a · c (раскрываем скобки)
Так как векторы a, b и c имеют единичную длину и образуют угол 60°, то:
a · b = cos 60° = 1/2
a · c = cos 60° = 1/2
Тогда:
a · (b − c) = 1/2 − 1/2 = 0
Также:
|a| = |b| = |c| = 1
Тогда:
|b − c| = √(|b|² − 2b·c + |c|²) = √(1 − 2cos 60° + 1) = √(1/3)
Таким образом, угол между векторами a и b − c можно найти по формуле:
cos β = (a · (b − c)) / (|a| · |b − c|) = 0
Так как cos β = 0, то угол β равен 90°.
Итак, ответы:
1) Угол между векторами a и b + c равен примерно 35.26°.
2) Угол между векторами a и b − c равен 90°.
