Вопрос школьника
Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) p = 2a-b, q = a + xb; б) р = xa-b, q-a + xb; в) р = а + xb, q = а- 2b; г) p = 2a + b, q = xa + b
Ответ от учителя
а) Для того чтобы векторы р и q были коллинеарны, они должны быть пропорциональными. То есть, q должен быть равен р, умноженному на некоторое число. Из условия задачи, вектор р равен 2а- b. Подставим это значение в выражение для q: q = a + xb. Тогда получим:
2а — b = (a + xb)k
где k — некоторое число. Раскроем скобки:
2а — b = ak + xbk
Выразим x:
x = (2а — b — ak)/b
Таким образом, чтобы векторы р и q были коллинеарны, необходимо, чтобы x был равен (2а — b — ak)/b.
б) Аналогично предыдущему пункту, для того чтобы векторы р и q были коллинеарны, они должны быть пропорциональными. То есть, q должен быть равен р, умноженному на некоторое число. Из условия задачи, вектор р равен xa — b, а вектор q равен a + xb — a = xb. Подставим это значение в выражение для q:
xa — b = x(xa — b)
Раскроем скобки:
xa — b = x^2a — xb
Выразим x:
x = (xa — b)/(x^2a — b)
Таким образом, чтобы векторы р и q были коллинеарны, необходимо, чтобы x был равен (xa — b)/(x^2a — b).
в) Аналогично предыдущим пунктам, для того чтобы векторы р и q были коллинеарны, они должны быть пропорциональными. То есть, q должен быть равен р, умноженному на некоторое число. Из условия задачи, вектор р равен а + xb, а вектор q равен а — 2b. Подставим это значение в выражение для q:
а — 2b = (а + xb)k
где k — некоторое число. Раскроем скобки:
а — 2b = ak + xbk
Выразим x:
x = (а — 2b — ak)/b
Таким образом, чтобы векторы р и q были коллинеарны, необходимо, чтобы x был равен (а — 2b — ak)/b.
г) Аналогично предыдущим пунктам, для того чтобы векторы р и q были коллинеарны, они должны быть пропорциональными. То есть, q должен быть равен р, умноженному на некоторое число. Из условия задачи, вектор р равен 2а + b, а вектор q равен xa + b. Подставим это значение в выражение для q:
xa + b = (2а + b)k
где k — некоторое число. Раскроем скобки:
xa + b = 2ak + bk
Выразим x:
x = (2а + b — bk)/a
Таким образом, чтобы векторы р и q были коллинеарны, необходимо, чтобы x был равен (2а + b — bk)/a.
