Вопрос школьника
Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с2; затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м — равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график зависимости vx(t)
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для средней скорости:
vср = (ΔS) / (Δt),
где ΔS — пройденное расстояние, Δt — время движения.
Разобьем движение на три участка:
1) Ускоренное движение с постоянным ускорением a = 1 м/с^2 в течение 4 секунд.
Используем формулу для расстояния при равноускоренном движении:
S = (a*t^2) / 2,
где t — время движения.
За первые 4 секунды велосипедист проедет:
S1 = (1*4^2) / 2 = 8 м.
Средняя скорость на этом участке:
v1 = (ΔS1) / (Δt1) = 8 / 4 = 2 м/с.
2) Равномерное движение в течение 0,1 минуты = 6 секунд.
За это время велосипедист проедет:
S2 = v2*t2 = v2*6,
где v2 — скорость на этом участке.
Так как движение равномерное, то средняя скорость на этом участке равна скорости v2:
v2 = S2 / t2 = S2 / 6.
3) Равнозамедленное движение до остановки на расстояние 20 м.
Используем формулу для расстояния при равнозамедленном движении:
S = (v0^2 — v^2) / (2*a),
где v0 — начальная скорость, v — конечная скорость, a — ускорение.
За последние 20 м велосипедист замедляется до остановки, поэтому конечная скорость v = 0. Начальная скорость v0 на этом участке равна скорости v2, которую он имел на предыдущем участке. Ускорение a на этом участке равно противоположному ускорению на первом участке, то есть a = -1 м/с^2.
Тогда расстояние, которое проедет велосипедист на этом участке:
S3 = (v2^2 — 0^2) / (2*(-1)) = v2^2 / 2.
Средняя скорость на этом участке:
v3 = (ΔS3) / (Δt3) = S3 / t3,
где t3 — время движения на этом участке.
Так как велосипедист замедляется до остановки, то время движения на этом участке равно времени, за которое он остановится:
t3 = v2 / a = -v2.
Тогда средняя скорость на этом участке:
v3 = S3 / t3 = -v2^2 / 2.
Теперь найдем среднюю скорость за все время движения:
vср = (ΔS) / (Δt) = (S1 + S2 + S3) / (t1 + t2 + t3) = (8 + v2*6 + v2^2 / 2) / (4 + 6 — v2),
где t1 = 4 секунды, t2 = 6 секунд, t3 = -v2.
Учитывая, что v2 = S2 / 6, получаем:
vср = (8 + S2 + S2^2 / 12) / (10 — S2 / 6).
Упрощая выражение, получаем:
vср = (96 + 7*S2) / (60 — S2).
Теперь построим график зависимости vx(t). Для этого разобьем движение на три участка и построим графики скорости на каждом участке.
1) Ускоренное движение с постоянным ускорением a = 1 м/с^2 в течение 4 секунд.
На этом участке скорость будет увеличиваться с постоянным ускорением. Используем формулу для скорости при равноускоренном движении:
v = a*t,
где t — время движения.
Тогда скорость на этом участке будет изменяться следующим образом:
v1(t) = 1*t, при 0 <= t <= 4. 2) Равномерное движение в течение 0,1 минуты = 6 секунд. На этом участке скорость будет постоянной и равной скорости v2: v2(t) = v2, при 4 < t <= 10. 3) Равнозамедленное движение до остановки на расстояние 20 м. На этом участке скорость будет уменьшаться с постоянным ускорением a = -1 м/с^2. Используем формулу для скорости при равноускоренном движении: v = v0 + a*t, где v0 - начальная скорость, a - ускорение, t - время движения. Тогда скорость на этом участке будет изменяться следующим образом: v3(t) = v2 - t, при 10 < t <= 10 + v2. Объединим графики скорости на всех участках и получим график зависимости vx(t):  На графике видно, что скорость на первом участке увеличивается с постоянным ускорением, на втором участке скорость постоянна, а на третьем участке скорость уменьшается с постоянным ускорением до остановки.
