Вопрос школьника
Верно ли утверждение:
а) если каждое слагаемое не кратно числу а, то и сумма не кратна числу а;
б) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и разность кратна числу а?
Ответ от учителя
а) Верно. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться принципом Дирихле: если имеется n+1 чисел, то как минимум два из них имеют одинаковый остаток при делении на n. Пусть у нас есть сумма S, состоящая из n+1 слагаемого, и каждое из них не кратно числу а. Тогда мы можем разбить эти слагаемые на n групп, каждая из которых содержит два слагаемых с одинаковым остатком при делении на а (по принципу Дирихле). Обозначим эти слагаемые как x и y. Тогда их сумма x+y кратна а, так как они имеют одинаковый остаток при делении на а. Но это противоречит тому, что каждое слагаемое не кратно а. Значит, и сумма S не кратна а.
б) Верно. Если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то они могут быть записаны в виде a*k и a*l, где k и l — целые числа. Тогда разность (a*k — a*l) можно записать как a*(k-l), которое является кратным числу а. Значит, и разность кратна числу а.
