Вопрос школьника
Вероятность попадания в цель при выстреле из каждого из двух орудий равна 2/3. Залп из двух орудий считается успешным, если хотя бы один снаряд попадёт в цель. Произведено 8 залпов. Каково наиболее вероятное число успешных залпов?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться биномиальным распределением. Обозначим за $X$ количество успешных залпов. Тогда $X$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=8$ и $p=1-(1-frac{2}{3})^2=1-frac{1}{9}=frac{8}{9}$ (вероятность не попасть в цель при выстреле из двух орудий равна $(1-frac{2}{3})^2=frac{1}{9}$).
Таким образом, вероятность того, что будет $k$ успешных залпов, равна:
$$P(X=k)={8choose k}left(frac{8}{9}right)^kleft(frac{1}{9}right)^{8-k}$$
Чтобы найти наиболее вероятное число успешных залпов, нужно найти значение $k$, при котором вероятность $P(X=k)$ максимальна. Для этого можно воспользоваться формулой Стирлинга и найти максимум логарифма вероятности:
$$ln P(X=k)=ln{8choose k}+klnfrac{8}{9}+(8-k)lnfrac{1}{9}$$
$$ln P(X=k)=lnfrac{8!}{k!(8-k)!}+klnfrac{8}{9}+(8-k)lnfrac{1}{9}$$
$$ln P(X=k)=lnfrac{8!}{k!(8-k)!}+kln 8-kln 9+8lnfrac{1}{9}$$
Для нахождения максимума логарифма вероятности можно найти производную по $k$ и приравнять ее к нулю:
$$frac{d}{dk}ln P(X=k)=frac{d}{dk}left(lnfrac{8!}{k!(8-k)!}+kln 8-kln 9+8lnfrac{1}{9}right)$$
$$frac{d}{dk}ln P(X=k)=frac{d}{dk}lnfrac{8!}{k!(8-k)!}+ln 8-ln 9$$
$$frac{d}{dk}ln P(X=k)=frac{d}{dk}left(ln 8-ln k-ln(8-k)right)+ln 8-ln 9$$
$$frac{d}{dk}ln P(X=k)=frac{1}{k}-frac{1}{8-k}$$
$$frac{d}{dk}ln P(X=k)=frac{8-2k}{k(8-k)}$$
Приравняем выражение к нулю и найдем значение $k$:
$$frac{8-2k}{k(8-k)}=0$$
$$8-2k=0$$
$$k=4$$
Таким образом, наиболее вероятное число успешных залпов равно 4.
