Вопрос школьника
Вероятность поражения стрелком мишени равна р = 0,8. Найти вероятность того, что при п = 100 выстрелах мишень будет поражена ровно к = 86 раз. Решить, используя формулы Бернулли и Лапласа. Сделать выводы.
Ответ от учителя
Формула Бернулли для нахождения вероятности успеха в серии из n независимых испытаний с вероятностью успеха p каждого испытания выглядит следующим образом:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где P(k) — вероятность того, что в серии из n испытаний будет k успехов, C(n, k) — число сочетаний из n по k.
В данном случае, n = 100, p = 0,8, k = 86. Подставляя значения в формулу Бернулли, получаем:
P(86) = C(100, 86) * 0,8^86 * 0,2^14 ≈ 0,048
Теперь рассмотрим формулу Лапласа для нахождения вероятности успеха в серии из n независимых испытаний с вероятностью успеха p каждого испытания при больших значениях n и p:
P(k) ≈ 1/√(2πnpq) * e^(-(k-np)^2/2npq)
где q = 1-p.
В данном случае, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 86. Подставляя значения в формулу Лапласа, получаем:
P(86) ≈ 1/√(2π*100*0,8*0,2) * e^(-(86-100*0,8)^2/(2*100*0,8*0,2)) ≈ 0,047
Как видно, результаты, полученные с помощью формул Бернулли и Лапласа, практически совпадают. Это объясняется тем, что в данном случае n достаточно большое, а вероятность успеха p достаточно близка к 0,5, что позволяет использовать формулу Лапласа.
Выводы: вероятность поражения мишени стрелком равна 0,8, что достаточно высоко. Вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 86 раз, составляет около 4,8%. Это довольно низкая вероятность, что говорит о том, что поражение мишени в каждом выстреле не является гарантированным даже для опытного стрелка.
