Вопрос школьника
Вершина A трапеции OABC лежит на положительной полуоси оси Oy, а вершина C — на положительной полуоси Ox. Найдите координаты вершин и середин диагоналей трапеции, если OA = AB = 3 и OC = 5.
Ответ от учителя
Пусть координаты вершины A равны (0, a), где a > 0, а координаты вершины C равны (c, 0), где c > 0. Так как AB = OA = 3, то координаты точки B равны (0, a + 3). Также, так как OC = 5, то координаты точки B также равны (c — x, y), где x и y — неизвестные координаты точки B.
Таким образом, мы можем записать два уравнения для прямых, содержащих диагонали трапеции: AC и OB.
Уравнение прямой AC: y = (a / c) * x
Уравнение прямой OB: y = (a + 3) / (-x / c + 1)
Теперь мы можем найти точку пересечения этих двух прямых, которая является серединой диагонали. Для этого мы должны решить систему уравнений:
y = (a / c) * x
y = (a + 3) / (-x / c + 1)
Подставляя первое уравнение во второе, получаем:
(a / c) * x = (a + 3) / (-x / c + 1)
(a / c) * x * (-x / c + 1) = a + 3
-a * x^2 + (a + 3) * c = 0
Решая это квадратное уравнение относительно x, получаем:
x = c * (a + 3) / (2 * a)
Теперь мы можем найти координаты точки B:
x = c * (a + 3) / (2 * a)
y = (a / c) * x
Также мы можем найти координаты середины диагонали AC:
x = c / 2
y = a / 2
Наконец, мы можем найти координаты середины диагонали OB:
x = c * (a + 3) / (2 * a)
y = (a + 3) / 2
Теперь остается только подставить значения OA = AB = 3 и OC = 5, и решить систему уравнений:
a^2 + c^2 = 25
(a + 3)^2 + c^2 / 4 = 9
Решив эту систему, мы получим:
a = 4, c = 3 * sqrt(3)
Таким образом, координаты вершин трапеции равны:
A(0, 4), B(0, 7), C(3 * sqrt(3), 0)
Координаты середин диагоналей равны:
Середина AC: (3 * sqrt(3) / 2, 2)
Середина OB: (9 * sqrt(3) / 4, 5)
