Вопрос школьника
Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что середины сторон ромба образуют другой ромб. Таким образом, у нас есть ромб со сторонами, равными половинам диагоналей исходного ромба.
Для нахождения сторон этого ромба, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной диагонали и двумя сторонами ромба:
$$a^2 + b^2 = c^2,$$
где $a$ и $b$ — половины диагоналей исходного ромба, а $c$ — сторона нового ромба.
Для диагонали 8 см:
$$a = frac{8}{2} = 4, quad b = frac{14}{2} = 7,$$
$$c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{4^2 + 7^2} = sqrt{65}.$$
Таким образом, сторона нового ромба равна $sqrt{65}$ см.
Аналогично, для диагонали 14 см:
$$a = frac{14}{2} = 7, quad b = frac{8}{2} = 4,$$
$$c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{7^2 + 4^2} = sqrt{65}.$$
Таким образом, сторона нового ромба также равна $sqrt{65}$ см.
Так как все стороны нового ромба равны, то он является ромбом со стороной $sqrt{65}$ см.
Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, также является ромбом. Его стороны равны половине сторон нового ромба, то есть $frac{sqrt{65}}{2}$ см.
