Вопрос школьника
Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A1A2, A2A3 и A3A4 правильного пятиугольника A1A2A3A4A5. Докажите, что центр O пятиугольника и центр O1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой AC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC является равнобедренным и равносторонним, так как его вершины являются серединами сторон правильного пятиугольника. Также заметим, что центр O пятиугольника является центром описанной окружности, а значит, лежит на перпендикуляре, проведенном к стороне A1A5 в ее середине.
Пусть точка M является серединой стороны A1A5, а точка I является центром вписанной окружности треугольника ABC. Тогда, так как треугольник ABC равнобедренный, точка I лежит на биссектрисе угла BAC. Пусть точка N является точкой пересечения биссектрисы угла BAC и стороны AC.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то точки M и N совпадают. Также заметим, что точки O и I лежат на одной прямой, проведенной через точки M и N, так как они являются центрами описанной и вписанной окружностей треугольника ABC соответственно.
Таким образом, точки O и I симметричны относительно прямой AC, проходящей через точку M (или N).
