Вопрос школьника
Вершины А, В, С и F ломаной ABOCF лежат на окружности, центром которой является точка О, АВ = FC (рис. 46, а). Вычислите длину звена АВ, если диаметр окружности равен 10 см, а длина ломаной — 16 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства окружности и ломаной.
Свойства окружности:
— Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2r
— Любые две точки на окружности делят ее дугу на две равные части.
Свойства ломаной:
— Длина ломаной равна сумме длин ее звеньев.
— Если ломаная лежит на окружности, то угол между любыми двумя звеньями равен половине угла, соответствующего дуге между этими звеньями.
Из условия задачи следует, что диаметр окружности равен 10 см, а длина ломаной равна 16 см. Поэтому, чтобы найти длину звена АВ, нам нужно сначала найти длину звена FC.
Из свойства окружности D = 2r следует, что радиус окружности равен половине диаметра: r = D/2 = 10/2 = 5 см.
Так как АВ = FC, то звенья АВ и FC равны между собой. Обозначим длину звена АВ и FC как х.
Также обозначим угол между звеньями АВ и FC как α.
Из свойства ломаной следует, что сумма углов между звеньями равна 180 градусов. Так как угол между звеньями АВ и FC равен α, то угол между звеньями FC и СО равен 180 — 2α.
Таким образом, мы можем записать систему уравнений:
х + х + х + х = 16 (сумма длин звеньев равна 16 см)
2α + (180 — 2α) = 180 (сумма углов между звеньями равна 180 градусов)
Решая эту систему уравнений, мы получаем:
х = 4 см
α = 45 градусов
Теперь мы можем найти длину звена АВ, используя свойства окружности и угол α:
Дуга между звеньями АВ и FC равна удвоенному углу α: 2α = 90 градусов.
Дуга между точками А и С равна половине окружности: 1/2 * 2πr = πr = 5π см.
Так как угол между звеньями АВ и FC равен половине дуги между этими звеньями, то угол между звеньями АВ и FC равен 45 градусов.
Таким образом, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины звена АВ:
(AB)^2 = (AC)^2 + (BC)^2 — 2 * AC * BC * cos(45)
(AB)^2 = (5π)^2 + (4)^2 — 2 * 5π * 4 * cos(45)
(AB)^2 ≈ 23.5
AB ≈ 4.85 см
Таким образом, длина звена АВ равна примерно 4.85 см.
