Вопрос школьника
Вершины B и D равнобедренных треугольников ABC и ADC с общим основанием AC лежат по разные стороны от прямой AC. На отрезке BD отмечена точка E, не лежащая на прямой AC. Докажите, что ∠EAC = ∠ACE.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABE и CDE. Они равнобедренные, так как AB = AC = AD и CD = AC = AD. Значит, у них равны основания AE и CE, а также углы при вершинах B и C.
Так как точка E лежит на отрезке BD, то угол AEC является внутренним углом треугольника CDE. Значит, он равен сумме углов при вершинах C и D, то есть ∠AEC = ∠ACD + ∠DCB.
Аналогично, угол AEB является внутренним углом треугольника ABE и равен сумме углов при вершинах A и B, то есть ∠AEB = ∠ABC + ∠CBA.
Так как треугольники ABC и ADC равнобедренные, то у них равны углы при вершинах A и C, то есть ∠ABC = ∠ADC.
Следовательно, ∠AEB = ∠ABC + ∠CBA = ∠ADC + ∠CBA = ∠ACB.
Таким образом, угол AEB равен углу при вершине C треугольника ACE, то есть ∠EAC = ∠ACE.
