Вопрос школьника
Вершины B и D треугольников ABC и ADC расположены по одну сторону от прямой AC и равноудалены от нее (рис. 384). Докажите, что отрезки каждой прямой, параллельной стороне AC, заключенные между двумя другими сторонами этих треугольников, равны.
Ответ от учителя
Пусть $E$ и $F$ — проекции точек $B$ и $D$ на прямую $AC$ соответственно. Так как точки $B$ и $D$ равноудалены от прямой $AC$, то $AE = CF$. Рассмотрим произвольную прямую $l$ параллельную стороне $AC$ и пересекающую стороны $AB$ и $CD$ в точках $G$ и $H$ соответственно (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A = (0,0);
B = (-1,1.5);
C = (2,0);
D = (3,1.5);
E = foot(B,A,C);
F = foot(D,A,C);
G = extension(A,B,C,D);
H = extension(A,D,C,B);
draw(A—B—C—cycle);
draw(A—D—C);
draw(B—D);
draw(E—B—F);
draw(G—H);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,NW);
label(«$C$»,C,SE);
label(«$D$»,D,NE);
label(«$E$»,E,NE);
label(«$F$»,F,NE);
label(«$G$»,G,S);
label(«$H$»,H,N);
[/asy]
Так как $l$ параллельна стороне $AC$, то $angle GAC = angle HAC$ и $angle GCA = angle HCA$. Также, так как $l$ пересекает стороны $AB$ и $CD$, то $angle GAB = angle HCD$ и $angle GBA = angle HDC$.
Рассмотрим треугольники $ABG$ и $CDH$. Они имеют равные углы $angle GAB = angle HCD$ и $angle GBA = angle HDC$, а также равные стороны $AB = CD$ и $BG = DH$ (так как $B$ и $D$ равноудалены от $AC$). Значит, эти треугольники равны по стороне-уголу-стороне. В частности, $AG = CH$.
Теперь рассмотрим отрезки $BG$ и $DH$. Они лежат на прямой $l$ и заключены между сторонами $AB$ и $AC$ (для $BG$) и между сторонами $CD$ и $AC$ (для $DH$). Так как $AG = CH$, то отрезки $BG$ и $DH$ равны.
Таким образом, мы доказали, что для любой прямой $l$ параллельной стороне $AC$, отрезки, заключенные между двумя другими сторонами треугольников $ABC$ и $ADC$, равны.
