Вопрос школьника
Вершины четырёхугольника ABCD расположены на окружности. Докажите, что сумма двух противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством окружности, согласно которому угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.
Пусть углы A и C являются противоположными углами четырехугольника ABCD, а углы B и D также являются противоположными. Тогда, по свойству окружности, угол ABD равен половине угла AC, а угол CBD равен половине угла ADC.
Суммируя эти два угла, получаем:
ABD + CBD = 1/2 AC + 1/2 ADC
Заметим, что углы AC и ADC являются смежными и дополнительными, то есть их сумма равна 180°. Подставляя это значение, получаем:
ABD + CBD = 1/2 (AC + ADC) = 1/2 * 180° = 90°
Таким образом, сумма двух противоположных углов четырехугольника ABCD равна 90° + 90° = 180°, что и требовалось доказать.
