Вопрос школьника
Вершины М и N квадрата KLMN лежат на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC (N между В и М), а вершины К и L — на катетах ВС и АС соответственно. Известно, что AM = а и BN = b. Найдите площадь квадрата.
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата равна x. Тогда, так как К и L лежат на катетах прямоугольного треугольника ABC, то KL = x/√2. Также, так как М и N лежат на гипотенузе, то MN = x.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABN. Из него следует, что:
BN² + AB² = AN²
b² + (a+x)² = (x+√(a²+b²))²
Раскроем скобки и упростим:
b² + a² + 2ax + x² = x² + 2x√(a²+b²) + a² + b²
2ax = 2x√(a²+b²)
x = √(a²+b²)
Теперь мы знаем сторону квадрата, и можем найти его площадь:
S = x² = (a²+b²)
Ответ: площадь квадрата равна сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника, т.е. (a²+b²).
