Вопрос школьника
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 57
Ответ от учителя
Пусть сторона ромба равна $a$, а диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$. Так как стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, то $d_1$ и $d_2$ являются диагоналями ромба. Также из условия следует, что длина стороны параллелограмма равна $d_1/2$.
Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали параллелограмма, стороной ромба и высотой ромба, проведенной к этой стороне. Этот треугольник является прямоугольным, так как высота ромба является медианой и высотой к стороне ромба. По теореме Пифагора:
$$left(frac{d_1}{2}right)^2 + a^2 = left(frac{d_2}{2}right)^2$$
Отсюда можно выразить $a$:
$$a = sqrt{left(frac{d_2}{2}right)^2 — left(frac{d_1}{2}right)^2}$$
Площадь ромба равна $S_r = frac{1}{2}d_1d_2$, а площадь параллелограмма равна $S_p = d_1cdotfrac{d_1}{2} = frac{1}{2}d_1^2$. Тогда отношение площадей равно:
$$frac{S_r}{S_p} = frac{frac{1}{2}d_1d_2}{frac{1}{2}d_1^2} = frac{d_2}{d_1} = frac{2sqrt{left(frac{d_2}{2}right)^2 — left(frac{d_1}{2}right)^2}}{d_1}$$
Подставляя значение отношения диагоналей $d_2/d_1 = 57$, получаем:
$$frac{S_r}{S_p} = frac{2sqrt{57^2 — 1^2}}{57} approx 4.000$$
Ответ: отношение площадей ромба и параллелограмма равно примерно 4.
