Вопрос школьника
Вершины треугольника ABC лежат на окружности и АВ : ВС = 2:3. Точка Т делит дугу АС пополам, хорда ВТ пересекает сторону АС в точке F, а хорда DE проходит через точку F, DF = 8 см и FE = 12 см. Вычислите длину стороны АС.
Ответ от учителя
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а M — середина дуги AC, не содержащей точку B. Тогда, так как точка Т делит дугу АС пополам, то точка Т лежит на перпендикулярной биссектрисе угла АОС, проходящей через точку М. Обозначим точку пересечения хорды ВТ с перпендикуляром биссектрисы угла АОС за P.
Так как АВ : ВС = 2:3, то угол АВС равен 60 градусов (так как это угол в равностороннем треугольнике). Тогда угол АОС равен 120 градусов, а угол АМТ равен 60 градусов (так как точка Т делит дугу АС пополам). Таким образом, треугольник АМТ — равносторонний, и точка P является серединой хорды ВТ.
Так как хорда DE проходит через точку F, то точки D, F и E лежат на одной прямой. Также из условия задачи известно, что DF = 8 см и FE = 12 см. Тогда длина отрезка DE равна 20 см.
Так как точка P является серединой хорды ВТ, то BP = PT. Также из равносторонности треугольника АМТ следует, что AP = PT. Тогда BP = AP, и точка P лежит на биссектрисе угла А.
Таким образом, точка P является точкой пересечения биссектрисы угла А и перпендикуляра к биссектрисе, проходящего через точку М. Так как AM = MC (так как точка М — середина дуги AC), то треугольник АPM — равнобедренный, и угол АПМ равен 30 градусов.
Так как угол АПМ равен 30 градусов, то угол АПС равен 60 градусов (так как точка С лежит на окружности, проходящей через точки А, О и С). Также из равносторонности треугольника АМТ следует, что угол АМС равен 60 градусов. Тогда треугольник АСМ — равносторонний, и длина стороны АС равна AM + MC = 2AM.
Так как точки А, О и С лежат на одной прямой, то угол АОС равен 180 — угол АМС = 120 градусов. Тогда угол АОМ равен 60 градусов, и треугольник АОМ — равносторонний. Таким образом, AM = OM = R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Таким образом, длина стороны АС равна 2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Осталось вычислить радиус описанной окружности.
Так как точки А, О и С лежат на одной прямой, то угол АОС равен 120 градусов. Тогда угол ВАС равен 60 градусов (так как точки А, В и С лежат на окружности). Также из условия задачи известно, что АВ : ВС = 2:3. Тогда AB = 2x, ВС = 3x, и AC = 5x.
Так как треугольник АВС — равносторонний, то AB = BC = AC = 5x. Тогда R — радиус описанной окружности треугольника ABC — равен R = AC/2 = 5x/2.
Таким образом, длина стороны АС равна 2R = 5x, где x — некоторое число. Осталось выразить x через известные длины отрезков.
Так как DF = 8 см и FE = 12 см, то DE = 20 см. Также из равносторонности треугольника АМТ следует, что AM = MT = R = 5x/2. Тогда MC = AC — AM = 5x — 5x/2 = 5x/2.
Так как точка F лежит на хорде DE, то угол DFE равен половине угла АОС. Так как угол АОС равен 120 градусов, то угол DFE равен 60 градусов. Тогда треугольник DFE — равносторонний, и длина отрезка EF равна DE/2 = 10 см.
Так как точка F лежит на хорде ВТ, то угол BFP равен углу ВТА. Так как треугольник АМТ — равносторонний, то угол ВТА равен 60 градусов. Тогда угол BFP также равен 60 градусов, и треугольник ВFP — равносторонний. Таким образом, длина отрезка BP равна BF = FP = EF = 10 см.
Так как точка P является серединой хорды ВТ, то BP = PT. Также из равносторонности треугольника АМТ следует, что AP = PT. Тогда BP = AP, и точка P лежит на биссектрисе угла А. Так как угол АПМ равен 30 градусов, то угол АПС равен 60 градусов (так как точка С лежит на окружности, проходящей через точки А, О и С). Также из равносторонности треугольника АМТ следует, что угол АМС равен 60 градусов. Тогда треугольник АСМ — равносторонний, и длина стороны АС равна 2AM = 5x.
Таким образом, длина стороны АС равна 5x, где x — решение уравнения 10^2 + (5x/2)^2 — 2*10*(5x/2)*cos(60) = (5x/2)^2. Решив это уравнение, получаем x = 8/3. Тогда длина стороны АС равна 5x = 40/3 см.