Вопрос школьника
Вершины треугольника ABC лежат на окружности с центром О, ∠ABC = 70°, ВС : АВ = 3:2. Найдите углы АСВ и ВАС треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать несколько свойств геометрии окружности и треугольника.
1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.
3. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
4. Для прямоугольного треугольника гипотенуза равна среднему геометрическому катетов.
Используя эти свойства, найдем угол ВОС:
∠BAC = 180° — ∠ABC — ∠ACB = 180° — 70° — ∠ACB = 110° — ∠ACB
Так как треугольник ВСА подобен треугольнику ВОС, то:
ВС : АВ = СО : ОВ
3 : 2 = СО : ОВ
СО = 3/5 * ОВ
Так как ОВ — радиус окружности, то СО — медиана, проходящая через центр окружности и середину стороны АВ. Значит, СО перпендикулярна АВ и делит его пополам. Тогда АС = СВ.
Таким образом, треугольник АСВ — равнобедренный, и угол ВАС равен углу АСВ. Обозначим этот угол через х.
Так как угол ВОС — половина центрального угла, соответствующего дуге ВС, то:
∠ВОС = 2 * ∠ВСА = 2 * х
Также из прямоугольного треугольника ВОС следует:
ОВ² = ОС² + СВ²
ОВ² = (3/5 * ОВ)² + (2/5 * ОВ)²
ОВ² = 9/25 * ОВ² + 4/25 * ОВ²
ОВ² = 13/25 * ОВ²
ОВ = ОС * √13/5
Теперь можно найти синус угла ВОС:
sin(∠ВОС) = ОС / ОВ = 5 / √13
sin(2х) = 2 * sin(x) * cos(x)
sin(x) = √(1 — cos²(x))
Подставляя значения, получаем:
2 * √(1 — cos²(x)) * cos(x) = 5 / √13
2 * cos²(x) — 1 = 5 / (2 * √13 * cos(x))
4 * cos⁴(x) — 4 * cos²(x) — 25 / 13 = 0
Решая это уравнение, получаем:
cos²(x) = (1 + √109) / 8
cos(x) = √[(1 + √109) / 8]
sin(x) = √[(7 — √109) / 8]
Таким образом, угол ВАС и угол АСВ равны:
∠ВАС = 2 * х = 2 * arcsin(√[(7 — √109) / 8]) ≈ 123.6°
∠АСВ = х = arcsin(√[(7 — √109) / 8]) ≈ 61.8°
