Вопрос школьника
Вертикальный цилиндр с тяжелым поршнем наполнен кислородом массой 10 г. После нагревания цилиндра на 50 К поршень, имеющий площадь 100 см2, поднялся на высоту 7 см. Определите массу поршня, если над ним нормальное атмосферное давление. Трением поршня о стенки цилиндра пренебречь
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянной температуре и массе газа его давление обратно пропорционально объему. Также воспользуемся законом Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость или газ, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости или газа.
Из условия задачи известно, что масса кислорода в цилиндре равна 10 г, а поршень поднялся на высоту 7 см. При этом объем газа уменьшился, так как поршень занял часть объема цилиндра. По закону Бойля-Мариотта можно записать:
P1V1 = P2V2,
где P1 и V1 — начальное давление и объем газа, P2 и V2 — конечное давление и объем газа. Так как над поршнем нормальное атмосферное давление, то начальное давление равно атмосферному давлению, то есть 101325 Па. Объем газа в начальный момент равен объему цилиндра, который можно найти, зная площадь поршня и высоту цилиндра:
V1 = S*h = 100 см2 * 7 см = 700 см3 = 0,7 л.
Конечное давление можно найти, зная, что поршень поднялся на высоту 7 см, то есть объем газа уменьшился на величину, равную объему, занимаемому поршнем:
V2 = V1 — S*h = 0,7 л — 100 см2 * 0,07 м = 0,63 л.
Тогда по закону Бойля-Мариотта:
P1V1 = P2V2,
101325 Па * 0,7 л = P2 * 0,63 л,
P2 = 113571 Па.
Теперь можно найти силу Архимеда, действующую на поршень. Для этого нужно найти объем газа, который вытеснил поршень при подъеме:
Vв = S*h = 100 см2 * 0,07 м = 0,007 м3.
Так как газ — кислород, то его плотность можно найти по таблицам:
ρ = 1,43 кг/м3.
Тогда масса вытесненного газа равна:
m = ρ*Vв = 1,43 кг/м3 * 0,007 м3 = 0,01 кг.
Сила Архимеда равна весу вытесненного газа:
F = m*g = 0,01 кг * 9,81 м/с2 = 0,0981 Н.
Так как поршень находится в равновесии, то сила Архимеда равна силе тяжести поршня:
F = P*S,
где P — давление газа на поршень, S — площадь поршня. Тогда можно найти давление газа на поршень:
P = F/S = 0,0981 Н / 100 см2 = 981 Па.
Так как давление газа на поршень равно конечному давлению газа в цилиндре, то можно записать:
P2 = 981 Па.
Тогда по закону Бойля-Мариотта можно найти конечный объем газа:
P1V1 = P2V2,
101325 Па * 0,7 л = 981 Па * V2,
V2 = 0,76 л.
Таким образом, при нагревании цилиндра на 50 К поршень поднялся на высоту 7 см, что соответствует уменьшению объема газа на 0,07 м3. Конечный объем газа составил 0,76 л, а начальный объем газа был равен объему цилиндра, который составлял 0,7 л. Значит, поршень занимал объем газа, равный 0,06 л. Так как масса кислорода в цилиндре равна 10 г, то масса кислорода, вытесненного поршнем, равна:
m = ρ*V = 1,43 кг/м3 * 0,06 л = 0,000858 кг = 0,858 г.
Так как сила Архимеда равна силе тяжести поршня, то можно записать:
P*S = m*g,
где P — давление газа на поршень, S — площадь поршня, m — масса поршня, g — ускорение свободного падения. Тогда можно найти массу поршня:
m = P*S/g = 981 Па * 100 см2 / 9,81 м/с2 = 10 кг.
Ответ: масса поршня равна 10 кг.
