Вопрос школьника
Відомо, що різниця двох мішаних чисел, перше з яких менше від другого, дорівнює 1. Сума їх цілих частин дорівнює 7, а сумою дробових частин є мішане число, дробова частина 4 якого дорівнює 4/6. Знайдіть ці числа.
Ответ от учителя
Позначимо перше мішане число як $afrac{p}{q}$, де $a$ — ціла частина, $p$ — чисельник дробової частини, $q$ — знаменник дробової частини. Тоді друге мішане число буде $bfrac{r}{s}$, де $b$ — ціла частина, $r$ — чисельник дробової частини, $s$ — знаменник дробової частини.
За умовою задачі, $b>a$ і $(bfrac{r}{s})-(afrac{p}{q})=1$. Перетворимо це рівняння:
$$bfrac{r}{s}-afrac{p}{q}=1$$
$$frac{bsr-apq}{qs}=1$$
$$bsr-apq=qs$$
Також за умовою задачі, $a+b=7$.
Залишилося знайти $r$ та $s$. За умовою задачі, $afrac{p}{q}+bfrac{r}{s}=a+b+frac{p}{q}+frac{r}{s}=7+frac{2}{3}$. Оскільки $frac{p}{q}+frac{r}{s}=frac{4}{6}=frac{2}{3}$, то маємо:
$$7+frac{2}{3}=a+b+frac{2}{3}$$
$$a+b=frac{19}{3}$$
Розв’язуємо систему рівнянь:
$$begin{cases}bsr-apq=qs \ a+b=frac{19}{3}end{cases}$$
Зауважимо, що $s$ та $q$ не можуть бути рівними, оскільки тоді $r=p$ і $a=b$, що суперечить умові $b>a$. Тому можемо записати:
$$bsr-apq=qs$$
$$bsr-apq=q(s-q)$$
$$bsr=q(s-q)+apq$$
$$r=frac{q(s-q)+apq}{bs}$$
Підставляємо це значення $r$ в рівняння $a+b=frac{19}{3}$:
$$a+frac{q(s-q)+apq}{bs}=frac{19}{3}$$
$$a(bs+q(s-q)+ap)=frac{19}{3}bs$$
$$a=frac{19bs-qp(s-q)-ap^2}{3bs}$$
Отже, ми знайшли вирази для $a$ та $r$ через $b$, $p$, $q$ та $s$. Підставляємо їх у рівняння $bsr-apq=qs$:
$$bcdotfrac{q(s-q)+apq}{bs}cdotfrac{q}{s}-acdot p=qs$$
$$(q(s-q)+apq)cdotfrac{q}{s}-apcdotfrac{bs}{b}=qs$$
$$q^2-qs+apq=qs+apq$$
$$q^2=2qs$$
$$q=frac{2s}{3}$$
Підставляємо це значення $q$ в вирази для $a$ та $r$:
$$a=frac{19bs-qp(s-q)-ap^2}{3bs}=frac{19bs-frac{2}{3}sp(s-q)-ap^2}{3bs}=frac{19-frac{2}{3}p(s-q)}{3}$$
$$r=frac{q(s-q)+apq}{bs}=frac{frac{2}{3}s(s-q)+frac{19}{3}cdotfrac{2}{3}p(s-q)}{bs}=frac{2s(s-q)+38p(s-q)}{9bs}=frac{2s+38p}{9b}$$
Отже, ми знайшли значення $q$, $a$ та $r$ через $b$, $p$ та $s$. Підставляємо їх у рівняння $bsr-apq=qs$:
$$bscdotfrac{2s+38p}{9b}-apcdotfrac{2s}{3}=qs$$
$$frac{2s^2+38ps}{9}-frac{2aps}{3}=qs$$
$$2s^2+38ps-6qs=27s^2$$
$$25s^2-38ps+6qs=0$$
Розв’язуємо це квадратне рівняння відносно $s$:
$$s=frac{38ppmsqrt{(38p)^2-4cdot25cdot6q}}{50}=frac{19ppmsqrt{361p^2-150q}}{25}$$
Оскільки $s$ — ціле число, то $361p^2-150q$ повинно бути квадратом цілого числа. Перевіряємо всі можливі значення $p$ та $q$ (за умовою задачі, $p$ та $q$ — цілі числа, $1leq p
