Вопрос школьника
Відстань від точки перетину діагоналей прямокутника до
однієї зі сторін на 3 см більша, ніж до другої. Знайдіть сторони
прямокутника, якщо його периметр дорівнює 28 см.
Ответ от учителя
Пусть сторони прямоугольника равны a и b, а расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из сторон равно x, тогда расстояние до другой стороны будет равно x — 3.
Из свойств прямоугольника известно, что диагонали равны и пересекаются в их середине, следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до каждой из сторон равно половине диагонали. Обозначим диагональ прямоугольника через d.
Тогда имеем два уравнения:
x = d/2 + 3
x — 3 = d/2
Сложим эти уравнения и выразим d:
2x — 3 = d
Также известно, что периметр прямоугольника равен 2a + 2b = 28. Выразим одну из сторон через другую:
a = 14 — b
Теперь можем выразить диагональ через стороны:
d^2 = a^2 + b^2
d^2 = (14 — b)^2 + b^2
d^2 = 196 — 28b + 2b^2
d = sqrt(196 — 28b + 2b^2)
Подставим это выражение для d в уравнение 2x — 3 = d:
2x — 3 = sqrt(196 — 28b + 2b^2)
Возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные слагаемые:
4x^2 — 12x + 9 = 196 — 28b + 2b^2
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим к квадратному уравнению:
2b^2 — 28b + (4x^2 — 12x — 187) = 0
Решаем это уравнение относительно b:
b = (28 ± sqrt(28^2 — 4*2*(4x^2 — 12x — 187))) / (2*2)
b = 7 ± sqrt(49 + 2x^2 — 6x — 187) / 2
b = 7 ± sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2
Так как b должно быть меньше 14 (иначе a будет отрицательным), то выбираем решение с минусом:
b = 7 — sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2
Теперь можем найти a:
a = 14 — b
a = 7 + sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2
Осталось найти x. Для этого подставим найденные значения a и b в уравнение для периметра:
2a + 2b = 28
2(7 + sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2) + 2(7 — sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2) = 28
Решаем это уравнение относительно x:
7 + sqrt(2x^2 — 6x — 138) + 7 — sqrt(2x^2 — 6x — 138) = 14
sqrt(2x^2 — 6x — 138) = 0
2x^2 — 6x — 138 = 0
x^2 — 3x — 69 = 0
Решаем квадратное уравнение:
x = (3 ± sqrt(3^2 + 4*1*69)) / 2
x = (3 ± sqrt(297)) / 2
Так как x должно быть больше 0, то выбираем решение с плюсом:
x = (3 + sqrt(297)) / 2
Теперь можем найти a и b:
b = 7 — sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2 ≈ 3.5
a = 7 + sqrt(2x^2 — 6x — 138) / 2 ≈ 10.5
Ответ: стороны прямоугольника примерно равны 3.5 см и 10.5 см.
