Вопрос школьника
Виктор написал на доске 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21, поставив вместо каждой звездочки или «+», или «-». Виктория изменила некоторые знаки на противоположные и в результате вместо числа 21 записала число 20. Докажите, что кто-то из детей ошибся
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо заметить, что произведение чисел от 1 до 9 равно 362880. Также заметим, что если заменить все знаки на «+», то получится сумма чисел от 1 до 9, которая равна 45. Если заменить все знаки на «-», то получится разность между числом 0 и суммой чисел от 1 до 9, то есть -45.
Теперь рассмотрим все возможные варианты расстановки знаков «+» и «-» в выражении 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9. Всего возможно 2^8 = 256 вариантов, так как каждую из 8 звездочек можно заменить на один из двух знаков.
Посчитаем значение выражения для каждого из этих вариантов. Если значение равно 20, то мы знаем, что Виктория изменила знак в одном из множителей. Так как произведение чисел от 1 до 9 нечетное, то знаков «-» должно быть нечетное количество. Значит, если Виктория изменила знак в четном количестве множителей, то она поменяла знак в четном количестве знаков «-», и значение выражения не могло измениться на 1. Аналогично, если Виктория изменила знак в нечетном количестве множителей, то она поменяла знак в нечетном количестве знаков «-», и значение выражения не могло измениться на 1.
Таким образом, мы доказали, что Виктория не могла изменить знак в одном из множителей, и что кто-то из детей ошибся в своих вычислениях.
