Вопрос школьника
Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, у 2 рази менша від цієї основи. Знайдіть кути даного трикутника
Ответ от учителя
Пусть основа рівнобедреного трикутника дорівнює b, тоді його висота дорівнює h = b/2. Оскільки трикутник рівнобедрений, то його бічні сторони мають однакову довжину, тобто a = c.
Застосуємо теорему Піфагора до трикутника зі сторонами b, a та a:
b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
Тоді a = sqrt(b^2/2).
Застосуємо тепер теорему синусів до трикутника зі сторонами a, a та b:
sin(A) / a = sin(B) / b
sin(A) / sqrt(b^2/2) = sin(B) / b
sin(A) = 2sin(B) / sqrt(2)
sin(B) = sqrt(2)sin(A) / 2
Застосуємо тепер теорему про суму кутів трикутника:
A + B + C = 180°
A + B + 60° = 180° (оскільки трикутник рівнобедрений, то кут C дорівнює 60°)
A + B = 120°
sin(A) = 2sin(B) / sqrt(2)
sin(A) = 2sin(120° — A) / sqrt(2) (оскільки sin(120° — A) = sin(60° + A) = sin(60° — A))
2sin(A) = sqrt(2)sin(120° — A)
4sin^2(A) = 2sin^2(120° — A)
4sin^2(A) = 2(3sin^2(A) — 4sin(A)cos(A))
4sin^2(A) = 6sin^2(A) — 8sin(A)cos(A)
2sin^2(A) = 4sin(A)cos(A)
sin(A) = 2cos(A)
tan(A) = 2
A = arctan(2) ≈ 63.43°
B = 120° — A ≈ 56.57°
C = 60°
Отже, кути рівнобедреного трикутника дорівнюють 63.43°, 56.57° та 60°.
