Витя составил такую задачу: Среди моих друзей четверо играют в футбольной команде, пятеро — в волейбольной

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Витя составил такую задачу:
Среди моих друзей четверо играют в футбольной команде, пятеро — в волейбольной, а трое из них играют и в футбольной, и в волейбольной командах. Сколько всего моих друзей играют в футбольной и волейбольной командах? Придумайте и решите похожую задачу.

Ответ от учителя

Для решения задачи можно использовать формулу включений-исключений. Обозначим через $F$ множество друзей, играющих в футбольной команде, через $V$ — множество друзей, играющих в волейбольной команде. Тогда по условию задачи $|F|=4$, $|V|=5$, $|Fcap V|=3$. Найдем количество друзей, играющих хотя бы в одной из команд:
$$|Fcup V|=|F|+|V|-|Fcap V|=4+5-3=6.$$
Таким образом, всего шесть друзей играют хотя бы в одной из команд. Чтобы найти количество друзей, играющих и в футбольной, и в волейбольной командах, нужно вычесть из этого числа количество друзей, играющих только в одной из команд. Обозначим через $Fsetminus V$ множество друзей, играющих только в футбольной команде, через $Vsetminus F$ — множество друзей, играющих только в волейбольной команде. Тогда
$$|Fcap V|=|F|+|V|-2|Fcup V|=4+5-2cdot 6=-3,$$
что, конечно, невозможно. Ошибка возникла из-за того, что мы использовали формулу включений-исключений для трех множеств, в то время как она справедлива только для двух.

Похожая задача: в классе 25 учеников, из них 12 увлекаются футболом, 15 — баскетболом, 8 — волейболом. Каждый ученик занимается хотя бы одним из этих видов спорта. Сколько учеников занимается двумя или тремя видами спорта?

Решение: обозначим через $F$, $B$, $V$ множества учеников, занимающихся соответственно футболом, баскетболом, волейболом. Тогда по условию задачи $|F|=12$, $|B|=15$, $|V|=8$, $|Fcup Bcup V|=25$. Найдем количество учеников, занимающих хотя бы один вид спорта:
$$|Fcup Bcup V|=|F|+|B|+|V|-|Fcap B|-|Fcap V|-|Bcap V|+|Fcap Bcap V|.$$
Подставляя известные значения, получаем
$$25=12+15+8-|Fcap B|-|Fcap V|-|Bcap V|+|Fcap Bcap V|,$$
откуда
$$|Fcap B|-|Fcap Bcap V|+|Fcap V|-|Fcap Bcap V|+|Bcap V|-|Fcap Bcap V|=10.$$
Заметим, что каждый из пересечений $Fcap B$, $Fcap V$, $Bcap V$ содержит хотя бы одного ученика, поэтому $|Fcap Bcap V|geq 0$. Тогда
$$|Fcap B|+|Fcap V|+|Bcap V|geq 10.$$
С другой стороны, по формуле включений-исключений
$$|Fcap B|+|Fcap V|+|Bcap V|-2|Fcap Bcap V|=|F|+|B|+|V|-|Fcup Bcup V|=10.$$
Отсюда следует, что $|Fcap B|+|Fcap V|+|Bcap V|leq 10+2|Fcap Bcap V|leq 10$. Таким образом, не более 10 учеников занимают два или три вида спорта.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *