Вопрос школьника
Внутри квадрата ABCD проведены прямые через вершины А и В так, что они образуют со стороной АВ угол в 15°. Докажите, что треугольник DEC равносторонний, где точка Е — точка пересечения проведённых прямых.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что угол между прямыми, проходящими через вершины А и В, равен 75° (так как угол между этими прямыми и стороной АВ равен 15°, а сумма углов треугольника равна 180°).
Теперь рассмотрим треугольник AED. Угол AED равен 180° — 75° — 90° = 15° (так как угол AEB равен 90°, а угол BEC равен 75°). Значит, угол ADE равен (180° — 15°) / 2 = 82.5°.
Аналогично, рассмотрим треугольник BEC. Угол BEC равен 75°, а угол BCE равен (180° — 75°) / 2 = 52.5°.
Теперь заметим, что угол ADE равен углу BCE (оба равны 82.5°), а угол AED равен углу BEC (оба равны 75°). Значит, треугольники AED и BEC подобны.
Так как угол AEB равен 90°, то треугольник AEB — прямоугольный. Значит, по теореме Пифагора, AB^2 = AE^2 + BE^2.
Так как треугольники AED и BEC подобны, то AE/BE = ED/EC. Значит, AE^2 = ED * BEC.
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем AB^2 = ED * BEC + BE^2.
Заметим, что треугольник BDC также равносторонний (так как угол BDC равен 180° — 75° — 90° = 15°, а угол BCD равен 75°). Значит, BC = BD = BE.
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем AB^2 = ED * BC^2 + BC^2.
Значит, ED = AB^2 / (2 * BC^2).
Так как BC = BD = BE, то ED = AB^2 / (2 * BE^2).
Но AB = 2 * BE * sin(75°) (так как угол между сторонами AB и BE равен 75°). Значит, ED = sin^2(75°) = (sqrt(6) — sqrt(2)) / 4.
Теперь рассмотрим треугольник DEC. Угол CED равен 180° — 75° = 105° (так как угол BEC равен 75°). Значит, угол CDE равен (180° — 105°) / 2 = 37.5°.
Аналогично, угол CED равен углу CDE (оба равны 105° — 75° = 30°).
Значит, треугольник DEC равносторонний (так как все его углы равны 60°).
