Вопрос школьника
Внутри n-угольника взяты m точек. Эти точки и вершины многоугольника соединены отрезками так, что исходный многоугольник разбивается на треугольники. Докажите, что при этом число треугольников равно n + 2m — 2.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся индукцией по числу вершин многоугольника.
База индукции: для треугольника утверждение очевидно, так как число треугольников равно 1 + 2*0 — 2 = -1, что не является корректным значением. Однако, если мы рассмотрим треугольник как частный случай четырехугольника, то получим, что число треугольников равно 2 + 2*0 — 2 = 0, что уже соответствует действительности.
Предположение индукции: пусть утверждение верно для любого многоугольника с числом вершин меньше n.
Шаг индукции: рассмотрим многоугольник с n вершинами. Выберем произвольную вершину и соединим ее отрезками с каждой из оставшихся n-1 вершин. Таким образом, мы получим n-1 треугольников. Далее, рассмотрим многоугольник, образованный оставшимися n-1 вершинами и m точками внутри него. По предположению индукции, число треугольников в этом многоугольнике равно (n-1) + 2m — 2. Однако, каждая из m точек внутри исходного многоугольника может быть соединена отрезком с каждой из n вершин, что добавит еще n*m отрезков. Но каждый из этих отрезков пересекает ровно один из n-1 отрезков, соединяющих выбранную вершину с оставшимися, и тем самым разбивает один из треугольников на два. Таким образом, мы получаем еще m треугольников. Итого, число треугольников в исходном многоугольнике равно n-1 + (n*m) + (n-1) + 2m — 2 + m = n + 2m — 2, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали утверждение для любого многоугольника, что завершает доказательство.
