Вопрос школьника
Внутри окружности радиуса R расположены n равных окружностей, которые касаются друг друга в данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
Ответ от учителя
1) Пусть радиус маленьких окружностей равен r. Тогда, соединив центры окружностей, получим равносторонний треугольник со стороной 2r и высотой R-r. Из свойств равностороннего треугольника, высота равна (корень из трех)/2 умножить на сторону. Таким образом, получаем уравнение: R-r = (корень из трех)/2 * 2r. Решая его относительно r, получаем r = R/(2+корень из трех).
2) Пусть радиус маленьких окружностей равен r. Тогда, соединив центры окружностей, получим квадрат со стороной 2r и диагональю 2R. Из свойств квадрата, диагональ равна стороне умноженной на корень из двух. Таким образом, получаем уравнение: 2R = 2r * (корень из двух). Решая его относительно r, получаем r = R/(корень из двух).
3) Пусть радиус маленьких окружностей равен r. Тогда, соединив центры окружностей, получим правильный шестиугольник со стороной 2r и радиусом R-r. Из свойств правильного шестиугольника, радиус равен стороне умноженной на корень из трех, разделенный на два. Таким образом, получаем уравнение: R-r = (2r * корень из трех)/2. Решая его относительно r, получаем r = R/(2*корень из трех — 3).
