Вопрос школьника
Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка M. Докажите, что сумма площадей треугольников AMB и CMD не зависит от положения точки M.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ACD.
Рассмотрим треугольник AMB. Его площадь можно вычислить по формуле S = 0.5 * AB * h, где AB — основание треугольника, а h — высота, опущенная на это основание. Высота h является расстоянием от точки M до прямой AB, которая является одной из сторон параллелограмма. Аналогично, для треугольника CMD площадь можно вычислить по формуле S = 0.5 * CD * h’, где CD — основание треугольника, а h’ — высота, опущенная на это основание.
Заметим, что высоты h и h’ являются равными, так как они опущены на параллельные прямые AB и CD из одной и той же точки M. Таким образом, площади треугольников AMB и CMD равны между собой, то есть S(AMB) = S(CMD) = 0.5 * AB * h = 0.5 * CD * h’.
Следовательно, сумма площадей треугольников AMB и CMD равна S(AMB) + S(CMD) = 0.5 * AB * h + 0.5 * CD * h’ = 0.5 * (AB + CD) * h. Заметим, что AB + CD является длиной одной из диагоналей параллелограмма, а h является расстоянием от точки M до этой диагонали. Таким образом, сумма площадей треугольников AMB и CMD равна половине произведения длины диагонали на расстояние от точки M до этой диагонали.
Из этого следует, что сумма площадей треугольников AMB и CMD не зависит от положения точки M внутри параллелограмма ABCD, так как длина диагонали и расстояние от точки M до нее остаются постоянными.
