Вопрос школьника
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому высота, опущенная на любую сторону параллелограмма, делит его на две равные площади.
Проведем высоту EF, опущенную из точки E на сторону AB параллелограмма ABCD. Тогда треугольник BEF является прямоугольным, а значит, его площадь равна половине произведения катетов:
S(BEF) = 0.5 * BE * EF
Аналогично, проведя высоту DG, опущенную из точки D на сторону BC, получим, что площадь треугольника AED равна:
S(AED) = 0.5 * AD * DG
Заметим, что сторона AB параллелограмма является основанием и для треугольника BEC, и для треугольника AED. Поэтому высоты EF и DG равны между собой и обозначим их общим символом h.
Тогда площадь параллелограмма ABCD равна произведению основания AB на высоту h:
S(ABCD) = AB * h
Суммируя площади треугольников BEC и AED, получаем:
S(BEC) + S(AED) = 0.5 * BE * EF + 0.5 * AD * DG
Заменяем высоту h на EF или DG и получаем:
S(BEC) + S(AED) = 0.5 * AB * h = 0.5 * S(ABCD)
Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD.
