Вопрос школьника
Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенства SOAB= SOAC= SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2= 5OС2.
Ответ от учителя
Пусть точка О лежит на высоте треугольника, опущенной из вершины С. Тогда ОС является катетом прямоугольного треугольника СОВ, а ОА и ОВ являются катетами прямоугольных треугольников СОА и СОВ соответственно. Также заметим, что треугольники СОА и СОВ подобны треугольнику ABC, так как угол СОА равен углу CAB, а угол СОВ равен углу CBA, и угол СОА равен углу СОВ, так как SOAB= SOAC= SOBC.
Поэтому, мы можем записать следующие соотношения:
$frac{OA}{AB} = frac{SO}{BC}$ и $frac{OV}{BC} = frac{SO}{AB}$
Учитывая, что AB = BC, мы можем записать:
$OA = frac{SO}{sqrt{2}}$ и $OV = frac{SO}{sqrt{2}}$
Также, по теореме Пифагора для треугольника СОВ, мы можем записать:
$OC^2 = OV^2 + VC^2 = frac{SO^2}{2} + VC^2$
Заметим, что треугольник СОС’ подобен треугольнику ABC, где С’ — середина AB. Поэтому, мы можем записать:
$frac{VC}{BC} = frac{OC’}{AC} = frac{1}{2}$
Отсюда следует, что $VC = frac{BC}{2}$.
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, мы получаем:
$OC^2 = frac{SO^2}{2} + frac{BC^2}{4}$
Таким образом, мы можем записать:
$OA^2 + OV^2 = frac{SO^2}{2} + frac{SO^2}{2} = SO^2$
$5OC^2 = 5left(frac{SO^2}{2} + frac{BC^2}{4}right) = frac{5SO^2}{2} + frac{5BC^2}{4}$
Следовательно, чтобы доказать равенство ОА2 + ОВ2= 5OС2, нам нужно доказать, что:
$frac{5SO^2}{2} + frac{5BC^2}{4} = SO^2$
Это равенство можно переписать в виде:
$SO^2 = frac{5BC^2}{2}$
Чтобы доказать это равенство, заметим, что треугольник СОВ подобен треугольнику СОА, так как угол СОВ равен углу СОА. Поэтому, мы можем записать:
$frac{OV}{OA} = frac{BC}{AB}$
Учитывая, что AB = BC, мы можем записать:
$OV = OA$
Таким образом, мы получаем:
$SO^2 = OA^2 + OV^2 = 2OA^2$
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, мы получаем:
$2OA^2 = frac{5BC^2}{2}$
Отсюда следует, что:
$OA^2 = frac{5BC^2}{4}$
Подставляя это значение в уравнение для OC^2, мы получаем:
$OC^2 = frac{SO^2}{2} + frac{BC^2}{4} = OA^2 + frac{BC^2}{4} = frac{5BC^2}{4} + frac{BC^2}{4} = frac{3BC^2}{2}$
Таким образом, мы доказали, что ОА2 + ОВ2= 5OС2.
