Вопрос школьника
Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка М такая, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC=80°
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и треугольника суммы углов.
Из условия задачи мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC. Также нам дано, что ∠BAC = 80°.
Из свойств равнобедренного треугольника следует, что ∠ABC = ∠ACB. Поэтому ∠ACB = (180° — ∠BAC — ∠ABC) / 2 = (180° — 80° — ∠ABC) / 2 = (100° — ∠ABC) / 2.
Также из условия задачи мы знаем, что ∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°. Следовательно, ∠BMC = 180° — ∠MBC — ∠MCB = 140°.
Теперь рассмотрим треугольник AMS. Из свойства треугольника суммы углов следует, что ∠AMS + ∠MAS + ∠ASM = 180°.
Заметим, что ∠MAS = ∠MAC + ∠CAM = ∠BAC / 2 + ∠ACB / 2 = (80° / 2) + ((100° — ∠ABC) / 2) = 90° — (∠ABC / 2).
Также мы можем заметить, что треугольник AMS является прямоугольным, так как ∠AMS + ∠ASM = ∠BMC = 140°. Следовательно, ∠AMS = 90° — ∠ASM = 90° — (∠ABC / 2).
Теперь мы можем подставить найденные значения ∠MAS и ∠AMS в уравнение ∠AMS + ∠MAS + ∠ASM = 180° и решить его относительно ∠ASM:
(90° — (∠ABC / 2)) + (90° — (∠ABC / 2)) + ∠ASM = 180°
∠ASM = ∠ABC
Ответ: ∠AMS = 90° — (∠ABC / 2), ∠ASM = ∠ABC, следовательно, ∠AMC = ∠AMS + ∠ASM = 90° + (∠ABC / 2).
