Вопрос школьника
Внутри треугольника ABC отмечена точка F. Через нее проведены прямые, параллельные сторонам АС и АВ и пересекающие сторону ВС соответственно в точках М и Е, FM = МС, FE = ЕВ. Докажите, что F — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольники FME и ABC подобны, так как углы при вершине F равны соответственно углам при вершине A. Также, из условия задачи следует, что углы FME и ABC равны, так как прямые FM и FE параллельны сторонам AC и AB соответственно.
Теперь рассмотрим биссектрису угла BAC, которая пересекает сторону BC в точке D. Заметим, что треугольники ABD и ACD также подобны треугольникам FME и ABC, так как углы при вершине A равны, а углы BDA и CDA равны, так как BD и CD являются биссектрисами углов ABC и ACB соответственно.
Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что BD/CD = AB/AC. Также, из подобия треугольников FME и ABC следует, что FM/ME = AB/BC и FE/ME = AC/BC.
Из условия задачи следует, что FM = MC и FE = EB, поэтому FM/ME = MC/ME и FE/ME = EB/ME. Подставляя эти равенства в выражение для отношения BD/CD, получаем:
BD/CD = AB/AC = FM/ME * EB/ME = (FM * EB) / (ME * ME)
Заметим, что FM * EB = FE * MC, так как треугольники FME и CME подобны. Подставляя это равенство, получаем:
BD/CD = (FE * MC) / (ME * ME)
Так как FE = EB и FM = MC, то:
BD/CD = (FM * MC) / (ME * ME)
Таким образом, мы получили, что отношение BD/CD равно отношению FM * MC / ME * ME. Но это означает, что точка F лежит на биссектрисе угла BAC, так как BD/CD = AB/AC, а это отношение равно отношению расстояний от точки F до сторон BC и AB, то есть отношению FM * MC / ME * ME.
Таким образом, мы доказали, что точка F лежит на биссектрисе угла BAC.
