Вопрос школьника
Внутри треугольника ABC взята точка О, причем ∠ВОС = ∠ВОА, АО = ОС. а) Докажите, что углы ВАС и ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС
Ответ от учителя
а) Из условия задачи следует, что треугольник ВОС равнобедренный, так как углы ВОС и ВСО равны, а стороны ВО и ОС равны. Значит, углы ВСО и СВО равны между собой. Также из условия следует, что треугольник ВОА равнобедренный, так как углы ВОА и ВАО равны, а стороны ВО и ОА равны. Значит, углы ВАО и ОВА равны между собой. Из этих двух равенств следует, что углы ВСО и ВАО равны между собой. Так как углы ВСО и СВО равны, то углы ВАО и СВО также равны. Но углы ВАО и ОСВ равны между собой, так как АО = ОС. Значит, углы СВО и ОСВ равны между собой. Из этих двух равенств следует, что углы ВАС и ВСА равны между собой.
б) Пусть М — середина отрезка АС. Так как М — середина отрезка АС, то МО параллельно СВ и равно ему вдвое. Значит, треугольники МОВ и СВО подобны с коэффициентом 1:2. Так как углы ВОС и ВОМ равны между собой (они равны, так как ВОМ — это угол, соответствующий углу ВОС в подобных треугольниках), то угол МОВ также равен углу ВОС. Значит, треугольники МОВ и ВОС подобны с коэффициентом 1:1. Так как углы ВОС и ВСО равны между собой, то угол МОВ также равен углу ВСО. Значит, треугольники МОВ и ВСО подобны с коэффициентом 1:1. Из подобия треугольников следует, что угол МВО равен углу СВО. Но углы МВО и ВОМ равны между собой (они равны, так как ВОМ — это угол, соответствующий углу МВО в подобных треугольниках). Значит, угол ВОМ также равен углу СВО. Но углы ВОМ и ВОС равны между собой, так как они соответствующие углы в подобных треугольниках. Значит, угол СВО также равен углу ВОС. Из этих равенств следует, что углы ВОМ, СВО и ВОС равны между собой. Значит, прямая ВО проходит через середину отрезка АС.
