Вопрос школьника
Внутри выпуклого четырёхугольника площади S взята точка. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки, симметричные выбранной точке относительно середин сторон данного четырёхугольника.
Ответ от учителя
Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD, внутри которого взята точка P. Обозначим точки пересечения отрезков AP и CD, BP и AD, CP и BD, DP и AC соответственно как E, F, G, H.
Так как четырёхугольник ABCD выпуклый, то каждая из его диагоналей делит его на два треугольника. Рассмотрим треугольники AEP и CDP. Они равны по двум сторонам (AP = CP, AD = CD) и углу между ними (угол ACD). Значит, они равны по всему содержанию. Аналогично можно доказать, что треугольники BFP и DAP, CGP и BDP, DHP и ACP равны по содержанию.
Таким образом, площадь четырёхугольника EFGH равна сумме площадей треугольников AEP, BFP, CGP и DHP. Но каждый из этих треугольников равен по содержанию соответствующему треугольнику, образованному симметричной точкой относительно середины стороны. Значит, площадь четырёхугольника EFGH равна четырём площадям треугольников, образованных симметричными точками.
Таким образом, площадь четырёхугольника EFGH равна 4S, где S — площадь исходного четырёхугольника ABCD.
