Вопрос школьника
Во сколько раз изменится давление лыжника на снег, если он снимет лыжи? Размер лыжи 200 см × 5 см, площадь ступни обуви s = 150 см2.
Ответ от учителя
Для ответа на данный вопрос необходимо рассмотреть, как давление распределяется на поверхность снега при наличии лыж и при их отсутствии.
Когда лыжник стоит на лыжах, его вес равномерно распределяется на площадь ступни лыжи и, соответственно, на поверхность снега под лыжей. При этом давление на снег будет равно весу лыжника, поделенному на площадь ступни лыжи:
p1 = F1 / S1,
где p1 — давление на снег под лыжей, F1 — вес лыжника, S1 — площадь ступни лыжи.
Если лыжник снимет лыжи, то его вес будет распределяться на площадь ступни обуви, которая, как указано в условии, равна 150 см2. Таким образом, давление на снег под ступней обуви будет равно:
p2 = F2 / S2,
где p2 — давление на снег под ступней обуви, F2 — вес лыжника, S2 — площадь ступни обуви.
Для того чтобы найти отношение давлений на снег при наличии лыж и при их отсутствии, необходимо поделить выражение для давления на снег под лыжей на выражение для давления на снег под ступней обуви:
p1 / p2 = (F1 / S1) / (F2 / S2).
Подставляя значения из условия, получаем:
p1 / p2 = (F1 / S1) / (F2 / S2) = (F1 / (200 см × 5 см)) / (F2 / 150 см2) = (F1 / 1000 см2) / (F2 / 150 см2) = (F1 / F2) × (150 см2 / 1000 см2) = (F1 / F2) × 0,15.
Осталось найти отношение веса лыжника при наличии лыж и при их отсутствии. Пусть w1 — вес лыжника с лыжами, w2 — вес лыжника без лыж. Тогда:
p1 / p2 = (F1 / F2) × 0,15 = (w1 / w2) × 0,15.
Для нахождения отношения весов лыжника при наличии лыж и при их отсутствии можно воспользоваться законом Архимеда. Согласно этому закону, вес тела, погруженного в жидкость или газ, уменьшается на величину, равную весу вытесненной им жидкости или газа. В нашем случае жидкость — это снег, а газ — это воздух. При наличии лыж лыжник вытесняет из-под лыж объем снега, равный объему лыж. При этом вес вытесненного снега равен весу лыж. Таким образом, вес лыжника с лыжами можно выразить как сумму его веса без лыж и веса вытесненного снега:
w1 = w2 + F1.
Подставляя это выражение в формулу для отношения давлений на снег при наличии лыж и при их отсутствии, получаем:
p1 / p2 = ((w2 + F1) / w2) × 0,15 = 1 + (F1 / w2) × 0,15.
Таким образом, давление на снег под ступней обуви будет больше, чем давление на снег под лыжей, примерно на величину, равную 15% отношения веса лыж к весу лыжника без лыж. Например, если вес лыжника без лыж равен 70 кг, а вес лыж — 2 кг, то отношение веса лыжника с лыжами к весу лыжника без лыж будет равно 72 кг / 70 кг = 1,03. Тогда отношение давлений на снег при наличии лыж и при их отсутствии будет равно 1 + 0,03 × 0,15 = 1,005, то есть давление на снег под ступней обуви будет больше, чем давление на снег под лыжей, примерно на 0,5%.
