Вопрос школьника
Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо знать формулу для полной механической энергии колеблющегося маятника:
$E = frac{mvl^2}{2} + mgh$
где $m$ — масса маятника, $v$ — скорость маятника, $l$ — длина подвеса маятника, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота маятника над точкой подвеса.
При уменьшении длины маятника в 3 раза, новая длина будет равна $frac{l}{3}$. При этом скорость маятника не изменится, так как она зависит только от амплитуды колебаний. Амплитуда колебаний увеличится в 2 раза, то есть новая амплитуда будет равна $2A$, где $A$ — старая амплитуда.
Таким образом, новая полная механическая энергия маятника будет равна:
$E’ = frac{mv(2Al)^2}{2} + mgh$
$E’ = frac{4mvl^2A^2}{2} + mgh$
$E’ = 2mvl^2A^2 + mgh$
Изначальная полная механическая энергия маятника была равна:
$E = frac{mvl^2}{2} + mgh$
Таким образом, отношение новой и старой полной механической энергии маятника будет равно:
$frac{E’}{E} = frac{2mvl^2A^2 + mgh}{frac{mvl^2}{2} + mgh}$
$frac{E’}{E} = frac{4vl^2A^2 + 2gh}{vl^2 + 2gh}$
Таким образом, полная механическая энергия маятника изменится в $frac{4vl^2A^2 + 2gh}{vl^2 + 2gh}$ раз.
