Вопрос школьника
Во сколько раз изменяется скорость движения спутника на орбите, если при уменьшении в 2 раза радиуса круговой орбиты период его обращения уменьшается в 4 раза?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения спутника на орбите пропорционален кубу большой полуоси орбиты. То есть:
T^2 ∝ a^3
Где T — период обращения спутника, а — большая полуось орбиты.
Из условия задачи известно, что при уменьшении радиуса орбиты в 2 раза, период обращения спутника уменьшается в 4 раза. Это означает, что:
T1 / T2 = 4
где T1 — период обращения спутника на первоначальной орбите, T2 — период обращения спутника на новой орбите.
Также известно, что при уменьшении радиуса орбиты в 2 раза, большая полуось орбиты также уменьшается в 2 раза. Это означает, что:
a1 / a2 = 2
где a1 — большая полуось орбиты спутника на первоначальной орбите, a2 — большая полуось орбиты спутника на новой орбите.
Используя эти два уравнения, можно выразить T1 и T2 через a1 и a2:
T1^2 ∝ a1^3
T2^2 ∝ a2^3
T1^2 / T2^2 = a1^3 / a2^3
T1^2 / (4T1)^2 = a1^3 / (a1/2)^3
T1^2 / 16T1^2 = a1^3 / (a1/8)
1/16 = a1^3 / (a1/8)
1/16 = 8a1^2 / a1^3
a1 = 128
Теперь можно найти a2:
a1 / a2 = 2
128 / a2 = 2
a2 = 64
Теперь можно найти T1 и T2:
T1^2 ∝ a1^3
T1^2 ∝ 128^3
T1 = 512
T2^2 ∝ a2^3
T2^2 ∝ 64^3
T2 = 256
Итак, период обращения спутника на первоначальной орбите T1 = 512 секунд, а на новой орбите T2 = 256 секунд. Теперь можно найти отношение скоростей движения спутника на этих орбитах:
v1 / v2 = a2 / a1 * T1 / T2
v1 / v2 = 64 / 128 * 512 / 256
v1 / v2 = 1/2
Таким образом, скорость движения спутника на новой орбите в 2 раза больше, чем на первоначальной орбите.
