Вопрос школьника
Вода в коническом сосуде была налита доверху,
а) На сколько понизился её уровень, когда отлили половину имеющейся воды?
б) Какая часть объёма осталась, когда уровень воды понизился в два раза?
Ответ от учителя
а) При отливании половины имеющейся воды уровень воды в коническом сосуде понизится на определенную величину. Чтобы найти эту величину, нужно знать, как связаны объем конуса и высота его боковой поверхности. Для конуса с радиусом основания r и высотой h эти величины связаны формулой:
V = (1/3)πr^2h
где V — объем конуса.
Так как вода была налита доверху, то объем воды равен объему конуса. При отливании половины имеющейся воды объем воды уменьшится в два раза, а значит, объем оставшейся воды будет равен половине объема конуса:
V’ = (1/2)V = (1/6)πr^2h
Теперь нужно найти, на сколько понизится уровень воды при таком изменении объема. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой поверхностью конуса, его высотой и отрезком, на который понизится уровень воды:
(r — x)^2 + h^2 = r^2
где x — искомая величина, на которую понизится уровень воды.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:
x = (h/2) — (V’/(πr^2))
Подставив значение V’, получим:
x = (h/2) — (h/6) = h/3
Таким образом, уровень воды понизится на треть высоты конуса.
б) Если уровень воды понизился в два раза, то высота оставшейся воды стала равна половине высоты конуса. Чтобы найти, какая часть объема осталась, нужно знать, как связаны объем конуса и высота его боковой поверхности. Для конуса с радиусом основания r и высотой h эти величины связаны формулой:
V = (1/3)πr^2h
где V — объем конуса.
Так как уровень воды понизился в два раза, то высота оставшейся воды стала равна h/2. Подставив это значение в формулу для объема конуса, получим:
V’ = (1/3)πr^2(h/2) = (1/6)πr^2h
Таким образом, осталась половина объема воды, которая была изначально.
