Вопрос школьника
Водную поверхность пруда украшают белые, голубые и тигровые кувшинки. Белых и голубых — 33 кувшинки, голубых и тигровых — 39 кувшинок, белых и тигровых — 36 кувшинок. Сколько кувшинок каждого вида украшают пруд?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать метод множеств. Представим каждый вид кувшинок как множество, а их пересечения как пересечения множеств. Тогда заданные условия можно записать в виде уравнений:
— |Б| = 33, |Г| = 33, |Т| = ?
— |Г ∩ Б| = 33, |Г ∩ Т| = 39, |Б ∩ Т| = 36
Здесь |Б|, |Г| и |Т| обозначают количество кувшинок каждого вида, а |Г ∩ Б|, |Г ∩ Т| и |Б ∩ Т| обозначают количество кувшинок, которые одновременно являются голубыми и белыми, голубыми и тигровыми, и белыми и тигровыми соответственно.
Чтобы найти количество тигровых кувшинок, нужно воспользоваться формулой включений-исключений:
|Г ∪ Б ∪ Т| = |Г| + |Б| + |Т| — |Г ∩ Б| — |Г ∩ Т| — |Б ∩ Т| + |Г ∩ Б ∩ Т|
Здесь |Г ∪ Б ∪ Т| обозначает общее количество кувшинок на пруду. Подставляя известные значения, получаем:
|Г ∪ Б ∪ Т| = 33 + 33 + |Т| — 33 — 39 — 36 + |Г ∩ Б ∩ Т|
Упрощая выражение, получаем:
|Т| — |Г ∩ Б ∩ Т| = 60
Теперь можно воспользоваться другим уравнением, чтобы найти |Г ∩ Б ∩ Т|. Для этого нужно выразить его через известные значения:
|Г ∩ Б ∩ Т| = |Г ∩ Б| + |Г ∩ Т| + |Б ∩ Т| — |Г ∪ Б ∪ Т|
Подставляя значения, получаем:
|Г ∩ Б ∩ Т| = 33 + 39 + 36 — |Г ∪ Б ∪ Т| = 108 — |Г ∪ Б ∪ Т|
Теперь можно вернуться к первому уравнению и выразить |Т| через известные значения:
|Т| = |Г ∩ Т| + |Б ∩ Т| — |Г ∩ Б ∩ Т|
Подставляя значения, получаем:
|Т| = 39 + 36 — (108 — |Г ∪ Б ∪ Т|) = |Г ∪ Б ∪ Т| — 33
Таким образом, мы получили два уравнения:
|Т| — |Г ∩ Б ∩ Т| = 60
|Т| = |Г ∪ Б ∪ Т| — 33
Решая их методом подстановки или методом вычитания, можно найти значения |Т|, |Г| и |Б|:
|Т| = 72
|Г| = 6
|Б| = 27
Ответ: на пруду украшают 72 тигровых кувшинки, 6 голубых кувшинок и 27 белых кувшинок.
