Вопрос школьника
Восьми цифровое натуральное число записано двумя единицами, двумя двойками, двумя тройками и двумя четверками. Между единицами стоит одна цифра, между двойками — две, между тройками — три, между четверками — четыре. Найдите это число. Сколько таких чисел можно записать?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться перестановками. Всего у нас есть 8 цифр, из которых 2 единицы, 2 двойки, 2 тройки и 2 четверки. Рассмотрим каждую группу цифр отдельно и посчитаем количество способов их переставить.
1. Единицы. У нас есть две единицы, между которыми стоит одна цифра. Эту цифру можно выбрать из оставшихся 6 цифр (все, кроме двух единиц). Таким образом, количество способов переставить единицы равно 2 * 6 = 12.
2. Двойки. У нас есть две двойки, между которыми стоят две цифры. Эти цифры можно выбрать из оставшихся 4 цифр (все, кроме двух единиц и двух двоек). Таким образом, количество способов переставить двойки равно 2 * 4 * 3 = 24.
3. Тройки. У нас есть две тройки, между которыми стоят три цифры. Эти цифры можно выбрать из оставшихся 2 цифр (все, кроме двух единиц, двух двоек и двух троек). Таким образом, количество способов переставить тройки равно 2 * 2 * 2 * 1 = 8.
4. Четверки. У нас есть две четверки, между которыми стоят четыре цифры. Эти цифры можно выбрать из оставшейся 1 цифры (все, кроме двух единиц, двух двоек, двух троек и двух четверок). Таким образом, количество способов переставить четверки равно 2 * 1 * 1 * 1 * 1 = 2.
Теперь найдем общее количество способов переставить все цифры. Для этого нужно перемножить количество способов переставить каждую группу цифр:
12 * 24 * 8 * 2 = 4,608.
Таким образом, всего можно записать 4,608 восьмицифровых чисел, удовлетворяющих условию задачи.
